Sujet : Le langage mathématique est-il universel ?

Extrait du corrigé : Le langage mathématique permet donc de donner accès à la chose en elle-même : si le mathématicien trace un cercle pour l'étudier, l'expression mathématique qu'il utilise ne désigne pas ce cercle précis, mais le cercle en tant que cercle, c'est-à-dire en tant qu'entité universelle, qui ne varie pas selon l'espace et le temps comme les cercles singuliers peuvent varier. Le langage mathématique est donc dans cette perspective universelle dans la mesure où il nous fait sortir des variations particulières pour nous élever à ce qui est immuable, intemporel.   2° Le langage mathématique est universel non pas par son objet, mais par la méthode qui le sous-tend et qui peut s'appliquer à tous les domaines de la pensée   Si l'on considère que le langage mathématique est universel parce qu'il nous donne accès, par les symboles qu'il met en oeuvre, à un niveau d'abstraction et de généralité élevé, ne peut-on pas dire qu'il n'est cependant pas universel au sens où il ne permet de penser que les objets mathématiques, qui ne constituent qu'une partie restreinte du réel et de notre pensée ? Selon Descartes, une telle objection ne vaut pas, car ce qui caractérise l'universalité du langage mathématique n'est pas l'objet de la science précise mathématique, mais sa méthode, qui consiste à penser les rapports entre les choses, leurs propriétés communes, et à établir ces points sous la forme d'une équation. Il faut pour cela aborder les objets par une certaine abstraction, comme des grandeurs et comme des proportions. Or, toute chose peut être représentée comme une grandeur ou comme une étendue, le langage mathématique est donc susceptible de s'appliquer à tous les objets que la pensée veut étudier, et lui fournit la méthode adéquate pour les penser rigoureusement. Il est donc universel au sens où en théorie, ce langage permet de tout exprimer, de penser des objets qui semblent pourtant à priori très différents des objets mathématiques, comme les concepts métaphysiques, par exemple.   3° L'universalité du langage mathématique est limitée par son caractère conventionnel   Si l'on dit que le langage mathématique est universel par la méthode qu'il permet d'appliquer à toutes les entités, le problème réside dans le fait qu'une telle universalité de méthode ne signifie pas nécessairement que le langage mathématique est en lui-même universel. En effet, les symboles qu'utilise le langage mathématique sont des conventions, et en ce sens, rien ne permet de fonder la nécessité que tout langage mathématique utilise les même symboles, et soit donc indépendant des variations temporelles et spatiales. Le mathématicien Poincaré insiste ainsi sur ce caractère conventionnel des symboles et expressions mathématiques, ce qui signifie que leur caractère universel n'est pas, en ce sens, plus fondé que le langage des langues naturelles, même si, bien entendu, les propriétés mathématiques restent vraies universellement.